完全数又称为完备数或完美数，是指除它本身以外的所有因子之和等于它本身的自然数。目前已知的完全数共有6个，分别为6、28、496、8128、33550336和8589869056。下面将从数学的角度解释为什么能成为完全数。
我们需要了解因子的概念。一个正整数a如果能被另一个正整数b整除，那么就称a是b的因数，或者说b是a的倍数。比如，1、2、3、4、6、8、12和24都是24的因子。我们可以将所有小于一个自然数n的因子的和表示为σ(n)，那么我们可以用下面的式子来表示一个自然数n是否为完全数：
n = σ(n) – n
也就是说，如果一个自然数n可以被除了它本身以外的所有因子之和整除，并且那个商等于n本身，那么我们称n为完全数。
接下来，我们需要证明只有形如2^(p-1)(2^p-1)的自然数才能成为完全数。其中p为质数。
对于一个质数p来说，2^p-1或称为梅森数一定是一个质数。这个结论可以通过欧拉检验法来证明。由于一个完全数n包含它本身在内的所有因子的和都等于2n，我们可以将n表示为：
n = 2^(p-1)(2^p-1)
那么，我们可以将σ(n)拆分为：
σ(n) = (2^p – 1)(2^(p-1) + 2^(p-2) + … + 2^1 + 2^0)
如果我们将最后的括号中的所有项相加，我们会得到2^p-1的一个因子。这是因为 2^p-1 可以整除它们中的每一个数，因此它一定是它们的最大公因数。除以它之后结果的值必定是一个整数，而这个整数就是完全数n。
一个自然数n是完全数的充要条件是它可以被写成形如2^(p-1)(2^p-1)的式子，其中p为质数。目前已知的完全数共有6个，这些数对于研究数学问题有着重要的作用，包括数论和群论等领域。完全数的发现和研究也为我们提供了更深入地理解数学中一些基本概念的契机，这对于促进数学教学和研究发展都至关重要。
